Напруга – чисельна міра розподілу внутрішніх сил за площиною поперечного перерізу. Його використовують при дослідженні та визначенні внутрішніх сил будь-якої конструкції.

Виділимо на площині перерізу майданчик  A; по цьому майданчику діятиме внутрішня сила  R.

Величина відношення  R/ A= p срназивається середньою напругою на майданчику  A. Справжнє напруження в точці Аотримаємо спрямувавши  Aдо нуля:

Нормальна напруга виникає, коли частинки матеріалу прагнуть віддалитися один від одного або, навпаки, зблизитися. Дотичні напруження пов'язані зі зсувом частинок по площині розрізу.

Очевидно, що
. Дотичне напруження у свою чергу може бути розкладене за напрямками осей xі y (τ z х , τ z у). Розмірність напруги – Н/м 2 (Па).

При дії зовнішніх сил поряд із виникненням напруг відбувається зміна об'єму тіла та його форми, тобто тіло деформується. При цьому розрізняють початковий (недеформований) і кінцевий (деформований) стан тіла.

16.Закон парності дотичних напруг

Касат. напруга на двох взаємно перпендик. площ. спрямовані до ребра або від ребра та рівні за величиною

17. Поняття про деформації. Міра лінійної, поперечної та кутової деформації

Деформац - зв. взаємне переміщення точок або перерізів тіла в порівнянні з положеннями тіла які вони займали до застосування зовнішніх сил

бувають: пружні та пластичні

а) лінійна деформація

мірою явл відносне подовження епсила =l1-l/l

б) поперечна деф

мірою явл. відносне звуження епсила штрих=|b1-b|/b

18.Гіпотеза плоских перерізів

Основні гіпотези(допущення): гіпотеза про не натискання поздовжніх волокон: волокна, паралельні осі балки, відчувають деформацію розтягування – стискування і тиску друг на друга у поперечному напрямі; гіпотеза плоских перерізів: переріз балки, плоский до деформації, залишається плоским і нормальним до викривленої осі балки після деформації. При плоскому вигині у випадку виникають внутрішні силові фактори: поздовжня сила N, поперечна сила Q і згинальний момент М. N>0, якщо поздовжня сила розтягує; при М>0 волокна зверху балки стискаються, знизу розтягуються. .

Шар, у якому відсутні подовження, називається нейтральним шаром(Віссю, лінією). При N=0 і Q=0 маємо випадок чистого вигину.Нормальна напруга:
, - Радіус кривизни нейтрального шару, y - відстань від деякого волокна до нейтрального шару.

19. Закон Гука (1670). Фізичний сенс входять до нього величин

Він встановив зв'язок між напругою, розтягуванням та поздовжньою деформацією.
де Е - Коефіцієнт пропорційності (модуль пружності матеріалу).

Модуль пружності характеризує твердість матеріалу, тобто. здатність чинити опір деформаціям. (Чим більше Е, тим менш розтяжний матеріал)

Потенційна енергія деформації:

Зовнішні сили, прикладені до пружного тіла, виконують роботу. Позначимо її через А. У результаті роботи накопичується потенційна енергія деформованого тіла U. З іншого боку, робота йде повідомлення швидкості масі тіла, тобто. перетворюється на кінетичну енергію К. Баланс енергії має вигляд А = U + К.

6. Напруга в точці. Повна, нормальна, дотична напруга. Розміри напруги.

Напруга – міра розподілу внутрішніх сил із перетином.

Де
- Внутрішня сила, виявлена ​​на майданчику
.

Повна напруга
.

Нормальна напруга – проекція вектора повної напруги нормаль позначається через σ.
де Е – модуль пружності I роду, ε – лінійна деформація. Нормальна напруга викликається лише зміною довжин волокон, напрямом їх дій, а кут поперечних та поздовжніх волокон не спотворюється.

Відносна напруга – складові напруги у площині перерізу.
, де
(Для ізотропного матеріалу) – модуль зсуву (модуль пружності II роду), μ – коефіцієнт Пуассона (=0,3), γ – кут зсуву.

7. Закон Гука для одновісного напруженого стану в точці та закон Гука для чистого зсуву. Модулі пружності першого та другого роду, їх фізичний зміст, математичний сенс та графічна інтерпретація. Коефіцієнт Пуассона.

- Закон Гука для одновісного напруженого стану у точці.

Е - Коефіцієнт пропорційності (модуль пружності I роду). Модуль пружності є фізичною константою матеріалу та визначається експериментально. Величина Е вимірюється у тих самих одиницях, як і σ, тобто. в кг/см 2 .

- Закон Гука для зсуву.

G - модуль зсуву (модуль пружності ІІ роду). Розмірність модуля Така сама, як і в модуля Е, тобто. кг/см 2 .
.

μ – коефіцієнт Пуассона (коефіцієнт пропорційності).
. Безрозмірна величина, що характеризує властивості матеріалу та визначається експериментально і лежить в інтервалі від 0,25 до 0,35 і не можуть перевищувати 0,5 (для ізотропного матеріалу).

8. Центральне розтягнення прямого бруса. Визначення внутрішніх поздовжніх сил шляхом перерізів. Правило знаків для внутрішніх поздовжніх сил. Навести приклади розрахунку внутрішніх поздовжніх сил.

Брус відчуває стан центрального розтягування (стиснення) у тому випадку, якщо в його поперечних перерізах виникають центральні поздовжні сили N z (тобто внутрішня сила, лінія дії якої спрямована по осіz), а решта 5 силових факторів дорівнюють нулю (Q x = Q y = M x = M y = M z = 0).

Правило знаків для N z: істинна сила, що розтягує – «+», істинна стискаюча сила – «-».

9. Центральне розтягнення прямого бруса. Постановка та розв'язання задачі про визначення напруг у поперечних перерізах бруса. Три сторони завдання.

Постановка: Прямий брус з однорідного матеріалу, розтягнутий (стиснутий) центральними поздовжніми силами N. Визначити напругу, що виникає в поперечних перерізах бруса, деформації та переміщення поперечних перерізів бруса в залежності від координат цих перерізів.

10. Центральне розтягнення прямого бруса. Визначення деформацій та переміщень. Жорсткість бруса при розтягуванні (стисненні). Навести приклади відповідних розрахунків.

Центральна напруга (сж.) прямого бруса див. у питанні 8.

.

При центральному розтягуванні (сж.) бруса в поперечному напрямку в перерізі виникає тільки нормальна напруга σ z постійне у всіх точках поперечного перерізу і дорівнює N z / F.
, де EF - жорсткість бруса при розтягуванні (стисненні). Чим більша жорсткість бруса, тим менше деформується намиста при одній і тій же силі. 1/(EF) – податливість бруса під час розтягування (стиснення).

11. Центральне розтягнення прямого бруса. Статично невизначені системи. Розкриття статичної невизначеності. Вплив температурного та монтажного факторів. Навести приклади відповідних розрахунків.

Центральна напруга (сж.) прямого бруса див. у питанні 8.

Якщо число лінійно-незалежних рівнянь статики менше кількості невідомих, що входять до системи цих рівнянь, то завдання визначення цих невідомих стає статично невизначеним.
(На скільки подовжиться одна частина, на стільки стиснеться друга).

Нормальні умови - 20 ºС.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – функціональна залежність між 4 параметрами.

12. Дослідне вивчення механічних властивостей матеріалів під час розтягування (стиснення). Принцип Сен-Венана. Діаграма розтягування зразка. Розвантаження та повторне навантаження. Наклеп. Основні механічні, міцнісні та деформаційні характеристики матеріалу.

Механічні властивості матеріалів обчислюють за допомогою випробувальних машин, які бувають важільними та гідравлічними. У важільній машині зусилля створюється за допомогою вантажу, що діє на зразок через систему важелів, а в гідравлічній за допомогою гідравлічного тиску.

Принцип Сен-Венана: Характер розподілу напруги в поперечних перерізах досить віддалених (практично на відстані, рівні характерному поперечному розміру стрижня) від місця застосування навантажень, поздовжніх сил не залежить від способу застосування цих сил, якщо вони мають один і той же статичний еквівалент. Однак у зоні застосування навантажень закон розподілу напруги може помітно відрізнятися від закону розподілу в досить віддалених перерізах.

Якщо випробуваний зразок, не доводячи до руйнування, розвантажити, то в процесі розвантаження залежність між силою Р та подовженням Δlзразок отримає залишкове подовження.

Якщо зразок був навантажений на ділянці, де дотримується закон Гука, та був розвантажений, то подовження буде чисто пружним. При повторному навантаженні пропаде проміжне розвантаження.

Наклеп (нагартування) – явище підвищення пружних властивостей матеріалу внаслідок попереднього пластичного деформування.

Межа пропорційності - найбільша напруга, до якої матеріал слідує закону Гука.

Межа пружності - найбільша напруга, до якої матеріал не отримує залишкових деформацій.

Межа плинності – напруга, у якому відбувається зростання деформації без помітного збільшення навантаження.

Межа міцності - максимальна напруга, яка може витримати зразок, не руйнуючись.

13. Фізичний та умовний межі плинності матеріалів при випробуванні зразків на розтяг, межа міцності. Допустима напруга при розрахунку на міцність центрально розтягнутого (стисненого) бруса. Нормативний та фактичний коефіцієнти запасу міцності. Навести числові приклади.

У тих випадках, коли на діаграмі відсутня явно виражена площа текучості, за межу плинності приймається умовно величина напруги, при якому залишкова деформація ε ост =0,002 або 0,2%. У деяких випадках встановлюється межа ε ост =0,5%.

max | σ z | = [σ].
,n>1(!) – нормативний коефіцієнт запасу міцності.

- Фактичний коефіцієнт запасу міцності.n> 1 (!).

14. Центральне розтягнення прямого бруса. Розрахунки на міцність та жорсткість. Умови міцності. Умова жорсткості. Три типи завдань при розрахунку на міцність.

Центральна напруга (сж.) прямого бруса див. у питанні 8.

max | σ z | розтяг ≤[σ] розтяж;max|σ z | стиснення ≤[σ] стиснення.

15. Узагальнений закон Гука для тривосного напруженого стану в точці. Відносна об'ємна деформація. Коефіцієнт Пуассона та його граничні значення для однорідного ізотропного матеріалу.

,
,
. Склавши ці рівняння, отримаємо вираз об'ємної деформації:
. Цей вираз дозволяє визначити граничне значення коефіцієнта Пуассон для будь-якого ізотропного матеріалу. Розглянемо випадок, коли x = y = z =р. В цьому випадку:
. При позитивному р величина θ повинна бути позитивною, при негативному р зміна обсягу буде негативним. Це можливе лише в тому випадку, коли μ≤1/2. Отже, значення коефіцієнта Пуассона для ізотропного матеріалу не може перевищувати 0,5.

16. Співвідношення між трьома пружними постійними ізотропного матеріалу (без виведення формули).

,
,
.

17. Дослідження напружено-деформованого стану у точках центрально-розтягнутого (стисненого) прямого бруса. Закон парності дотичних напруг.

,
.

- Закон парності дотичних напруг.

18. Центральне розтягування (стиснення) бруса з лінійно-пружного матеріалу. Потенційна енергія пружної деформації бруса та її зв'язок із роботою зовнішніх поздовжніх сил, прикладених до бруса.

А = U + K. (В результаті роботи накопичується потенційна енергія деформованого тіла U, крім того, робота йде на здійснення швидкості масі тіла, тобто перетворюється на кінетичну енергію).

Якщо центральне розтягування (стиснення) бруса з лінійно-пружного матеріалу проводиться дуже повільно, швидкість переміщення центру мас тіла буде дуже малою. Такий процес навантаження називається статичним. Тіло будь-якої миті перебуває у стані рівноваги. І тут А=U, і робота зовнішніх сил цілком перетворюється на потенційну енергію деформації.
,
,
.

Напруга – чисельна міра розподілу внутрішніх сил за площиною поперечного перерізу. Його використовують при дослідженні та визначенні внутрішніх сил будь-якої конструкції.

Виділимо на площині перерізу майданчик DA; по цьому майданчику діятиме внутрішня сила DR.Величина відношення DR/DA=p порівнназивається середньою напругою на майданчику DA. Справжнє напруження в точці Аотримаємо спрямувавши DAдо нуля

Нормальна напруга виникає, коли частинки матеріалу прагнуть віддалитися один від одного або, навпаки, зблизитися. Дотичні напруження пов'язані зі зсувом частинок по площині розрізу.

Очевидно, що . Дотичне напруження у свою чергу може бути розкладене за напрямками осей xі y (τ zх, τ zу). Розмірність напруги – Н/м 2 (Па).

17. Поняття про напруження. Нормальні та дотичні напруги.

внутрішні силові фактори. Метод перерізів. Епюри. Вираз внутрішніх силових факторів через нормальні та дотичні напруги.

Внутрішні силові фактори

У процесі деформації бруса під навантаженням відбувається зміна взаємного розташування елементарних частинок тіла, внаслідок чого в ньому виникають внутрішні сили.

За своєю внутрішніми силами є взаємодія частинок тіла, що забезпечує його цілісність і спільність деформацій.

Щоб чисельно встановити величину внутрішніх сил, користуються методом перерізів.

Метод перерізівзводиться до чотирьох дій:

1. Розрізають (подумки) тіло площиною там, де потрібно визначити внутрішні сили (рис. 7);

Рис. 7

2. Відкидають будь-яку відрізану частину тіла (бажано найбільш складну), а її дію на частину, що залишилася, замінюють внутрішніми силами, щоб досліджувана частина, що залишилася, знаходилася в рівновазі (рис.8);

Рис. 8

3. Приводять систему сил до однієї точки (як правило, до центру тяжкості перерізу) і проектують головний вектор і головний момент системи внутрішніх сил на нормаль до площини (вісь) та головні центральні осі перерізу (і).

Отримані сили (N, Qy, Qz) (рис. 9) та моменти (Мк, Мy, Mz) називають внутрішніми силовими факторами у перерізі

Рис. 9

Для внутрішніх силових факторів прийнято такі назви:

-поздовжня або осьова сила;

І - поперечні сили;

-обертаючий момент;

І - згинальні моменти.

4. Знаходять внутрішні силові фактори, складаючи шість рівнянь рівноваги статики для частини розсіченого тіла, що розглядається.

Епюра(Фр. epure- креслення) - особливий вид графіка, що показує розподіл величини навантаження на об'єкт. Наприклад, для стрижня поздовжня вісь симетрії береться за область визначення та складаються епюри для сил, напруг та різних деформацій залежно від абсциси.

Розрахунок епюр напруги є основним завданням такої дисципліни, як опір матеріалів. Зокрема, лише за допомогою епюри можна визначити максимально допустиме навантаження на матеріал.

Для побудови ординати епюри M у якомусь перерізі стрижня

необхідно виконати такі дві операції.

1. За допомогою рівняння рівноваги ∑M(ліворуч)= 0 для лівої відсіченої

частини стрижневої системи (або ∑M(праворуч) = 0 для правої частини) підрахувати

чисельне значення згинального моменту у перерізі.

2. Відкласти знайдене чисельне значення у вигляді ординати перпендикулярно до осі стрижня з боку розтягнутого волокна стрижня .

Чисельне значення згинального моменту в перерізі дорівнює чисельному значенню суми алгебраїчної моментів всіх сил,що діють на стрижневу систему з будь-якою однією із сторін перерізу, взяті щодо точки на осі перерізу.

Складову, що лежить у перерізі в даному майданчику позначається через і називається дотичною напругою.

Нормальну напругу, спрямовану від перерізу, вважають позитивною, спрямовану до перерізу – негативною.

Нормальна напруга виникає, коли під дією зовнішніх сил частинки, розташовані по обидва боки від перерізу, прагнуть відійти одна від одної або зблизитися. Дотичні напруження виникають, коли частинки прагнуть зрушити одна відносно іншої в площині перерізу.

Дотичне напруження можна розкласти по координатних осях на дві складові і (рис. в) Перший індекс показує, яка вісь перпендикулярна перерізу, другий - паралельно якій осі діє напруга. Якщо у розрахунках напрямок дотичної напруги немає значення, його позначають без індексів.

Раніше ми для простоти та наочності розглядали звичайну дерев'яну лінійку як балку, що дозволило з відомими припущеннями вивести основні рівняння та формули для розрахунку несучої здатності балки. Завдяки цим рівнянням ми побудували епюри поперечних сил "Q" та епюри згинальних моментів "М".

Малюнок 149.2.1. Епюри поперечних сил та згинальних моментів, що діють у поперечних перерізах балки при зосередженому навантаженні.

Що в результаті дозволило досить просто і наочно визначити значення максимального згинального моменту і відповідно значення максимальних нормальних напруг, що розтягують і стискають, що виникають в найбільш навантаженому поперечному перерізі балки.

Далі, знаючи розрахунковий опір матеріалу балки (значення розрахункових опорів проводяться у відповідних СНиПах), можна досить легко визначити момент опору поперечного перерізу, а потім інші параметри балки, висоту і ширину, якщо балка прямокутного перерізу, діаметр, якщо балка круглого перерізу, номер за сортаментом, якщо балка із металевого гарячекатаного профілю.

Такий розрахунок на міцність є розрахунком по першій групі граничних станів і дозволяє визначити максимально допустиме навантаження, яке може витримати конструкція, що розраховується. Перевищення максимально допустимого навантаження призведе до руйнування конструкції. Як саме буде руйнуватися конструкція, нас в даному випадку не цікавить, тому що даний сайт присвячений не питанням теоретичних і практичних досліджень граничних станів матеріалів, а лише деяким методам розрахунків найпоширеніших будівельних конструкцій.

Як правило, інженерні розрахунки конструкцій, які будуть використовуватися сотнями тонн і десятками кубометрів, виконуються так, щоб отримати максимально завантажену конструкцію. Тому такі розрахунки досить складні та різного роду коефіцієнтів, що враховують термін служби конструкції, характер навантажень, циклічність, динамічність навантажень, неоднорідність використовуваного матеріалу тощо. - десятки. Це логічно оскільки за валового виробництва кожен відсоток у результаті дає відчутну економію. У приватному будівництві, що виконується один раз, міцність конструкції, нехай навіть з двократним запасом набагато важливіша за можливу економію матеріалів і тому розрахунки для приватного малоповерхового будівництва можна максимально спростити, використовуючи лише один поправочний коефіцієнт γ = 1.6÷2, якщо на цей коефіцієнт будуть множитися значення напруги, або γ = 0.5÷0.7, якщо на цей коефіцієнт буде множитися значення розрахункового опору. Проте цим навіть такі прості розрахунки не обмежуються.

Будь-яка балка, що має довжину значно більше, ніж висоту поперечного перерізу, що є стрижнем, під дією навантажень буде деформуватися. Результатами деформації є усунення центральної осі балки по осі у щодо осі х , простіше кажучи прогин, а також поворот поперечних перерізів балки щодо площини поперечного перерізу І ці прогини і кути повороту незалежно від того, які опори у балки і які на неї діють навантаження, також можна визначити. Для визначення максимального кута повороту та максимального прогину також будуються відповідні епюри, що дозволяють визначити, який поперечний переріз зміститься в результаті прогину найбільше і яке буде нахилено найбільше.

Малюнок 174.5.6. Епюра кутів повороту при дії зосередженого навантаження посередині балки

Епюра прогинів тут не наводиться, але як не дивно, це найпростіша епюра, що показує положення осі, що проходить через поперечні перерізи балки в результаті деформації і цю епюру на власні очі можна спостерігати на будь-якій балці, що досить прогнулася, або будь-якої іншої конструкції. Знаючи модуль пружності матеріалу балки та момент інерції поперечного перерізу визначити максимальний прогин також не дуже складно. Максимально спростити розв'язання цих завдань дозволяють розрахункові схеми для балок, яких залежно від характеру опор і виду навантаження дано відповідні формули.

Такий розрахунок деформацій є розрахунком за граничними станами другої групи і досить наочно показує, яку величину прогнеться балка. Це буває важливо у зв'язку з технологічними обмеженнями, наприклад для підкранових балок, але й з естетичних міркувань. Наприклад, коли стеля, а точніше перекриття, хоч і досить міцне, помітно прогнеться, приємного в цьому мало. Максимально допустимі величини прогинів для різних будівельних конструкцій наводяться в СНиП 2.01.07-85 "Навантаження та впливи" (у його актуалізованій редакції). Втім, при розрахунках для себе ніхто не забороняє використовувати ще менші значення прогину.

Тут у читача може виникнути цілком резонне питання, а навіщо знадобилося будувати епюру дотичних напруг "Q", якщо в жодних розрахунках ця епюра не бере участі. Що ж, настав час відповісти на це запитання.

Справа в тому, що розрахунок різного роду балок, особливо постійного прямокутного перерізу, що лежать горизонтально, на міцність при дії дотичних напруг дуже рідко є визначальним на відміну від наведених вище розрахунків. Проте знати, що таке – дотичні напруження – і як вони впливають на роботу конструкції, нехай навіть дуже спрощено, але все-таки треба.

Як випливає з визначення, дотичні напруги діють у поверхні поперечного перерізу, як стосуються поперечного перерізу тому і названі дотичні. Визначити значення дотичних напруг на перший погляд просто: досить розділити значення поперечної сили (для цього нам і потрібна епюра "Q"), на площу поперечного перерізу (у наведеному прикладі поперечні сили діяли тільки вздовж осі у і надалі цього нам цілком вистачить, ускладнити будь-який розрахунок ми встигнемо завжди):

т= Q/F = Q/(bh) (270.1)

У результаті ми можемо побудувати епюру дотичних напруг. τ "(на додаток до нормальних напруг "σ") наступного виду:

Малюнок 270.1. Попередня епюра дотичних напруг τ "

Однак така епюра дотичних напруг була б справедлива для абстрактного матеріалу, що володіє лінійною пружністю вздовж осі у , і абсолютно жорсткого вздовж осі z , внаслідок чого в поперечному перерізі такого матеріалу не відбувається перерозподілу напруг і є лише один вид деформації щодо осі у . Насправді ж будь-яке тіло, що володіє ізотропними властивостями, під дією навантажень намагається зберегти свій обсяг, а значить і перетин, що розглядається, намагається зберегти свою площу. Наочний приклад, коли ви сідає на м'яч, висота його під дією вашої ваги зменшується, але збільшується ширина. Причому цей процес носить не лінійний характер. Якщо вирізати з тіста кубик або паралелепіпед, а потім натиснути на нього, то бічні грані стануть опуклими, подібний процес відбувається при лабораторних випробуваннях на стиснення зразків металу або інших матеріалів.

До того ж це означає ще й те, що дотичні напруги, що діють вздовж осі у , викликають появу дотичних напруг вздовж осі z та епюра дотичних напруг вздовж осі z більш наочно показуватиме зміну дотичних напруг по відношенню до висоті балки. При цьому форма епюри нагадуватиме бічну грань сплюснутого кубика з тіста, а площа епюри звичайно ж не зміниться. Тобто. значення епюри дотичних напруг в самому низу і в самому верху поперечного перерізу дорівнюватимуть нулю, а максимальне значення (при прямокутному перерізі) буде посередині висоти перерізу і явно більше Q/F. Виходячи з умови рівності площ епюр максимальне значення епюри дотичних напруг не може бути більше 2Q/F, та й то тільки в тому випадку, якщо епюра буде два трикутники і в цьому випадку максимальне значення і є висота трикутників. Проте як ми вже з'ясували епюра на свій вигляд більше нагадує частину кола або параболу, тобто. значення максимальної дотичної напруги становитиме близько 1.5Q/F:

Малюнок 270.2. Точніша епюра дотичних напруг.

Сірою лінією показана попередньо прийнята нами епюра дотичних напруг, але тепер дотичні напруги спрямовані вздовж осі z .

Математично зміна дотичних напруг залежно від висоти перерізу можна виразити через зміну статичного моменту відсіченої частини перерізу з урахуванням зміни ширини перерізу, оскільки далеко не завжди балки мають прямокутну форму перерізу. У результаті формула визначення дотичних напруг (висновок формули не наводиться) має такий вид:

т= Q y S z відс /bI z(270.2) – формула проф. Д. І. Журавський

де Q y- значення поперечної сили в аналізованому поперечному перерізі визначається по епюрі "Q"

S z відс- статичний момент відсіченої частини перерізу на розглянутій висоті щодо осі z . Визначається як площа відсіченої частини, помножена на відстань між центром тяжкості перетину і центром тяжкості відсіченої частини перерізу. Наприклад, у самому низу поперечного перерізу, тобто. при висоті h=0, площа відсіченої частини перерізу буде також дорівнює 0, а значить і дотичні напруги, що діють по ширині поперечного перерізу b, також будуть рівні нулю. Для перерізу, що проходить крізь центр тяжкості поперечного перерізу, тобто. при висоті відсіченої частини перерізу, що дорівнює h/2, статичний момент становитиме (bh/2)(h/4) = bh 2 /8. При висоті відсіченого перерізу, що дорівнює висоті поперечного перерізу статичний момент дорівнюватиме нулю, так як центр тяжкості відсіченої частини перерізу в цьому випадку збігатиметься з центром тяжкості перерізу.

b- ширина поперечного перерізу на розглянутій висоті поперечного перерізу. Для балок прямокутного перерізу ширина перерізу величина постійна, проте бувають балки круглого, таврового, двотаврового та будь-якого іншого перерізу. Більш того, визначення дотичних напруг найчастіше і використовується при розрахунку балок не прямокутного перерізу, так як при переході перетину з полиць у стінку з'являється значний стрибок дотичних напруг у зв'язку зі зміною ширини перерізу, причому перехід із полиць у стінку зазвичай відбувається на такій висоті, де нормальна напруга досить велика і це враховується відповідним розрахунком.

I z- момент інерції поперечного перерізу щодо осі z . В даному випадку єдина постійна величина. Для прямокутного поперечного перерізу момент інерції становить bh 3/12.

Таким чином, згідно з формулою (270.2) максимальне значення дотичних напруг складе:

т= 12Qbh 2 /(8b 2 h 3) = 1.5Q/F (270.3)

Такий самий результат дала нам і геометрія.

І ще. Для матеріалів, що мають яскраво виражені анізотропні властивості, наприклад, для деревини перевірка на міцність по дотичних напругах необхідна. Справа в тому, що міцність деревини стиску вздовж волокон і міцність деревини стиску поперек волокон - абсолютно різні речі. Тому перевірка виконується для поперечних перерізів, у яких дотичні напруги максимальні, як правило, це перерізи на опорах балки (при рівномірно розподіленому навантаженні). В цьому випадку отримане значення дотичних напруг порівнюється зі значенням розрахункового опору деревини стиску або зминання поперек волокон - R c90.

Втім, існує й інший підхід до питання визначення дотичних напруг: під дією навантажень балка деформується, при цьому максимальні нормальні стискаючі та розтягувальні напруги виникають у самому низу і в самому верху поперечного перерізу балки, що можна бачити по епюрі "σ" на рис.270.1 .

При цьому між волокнами такого неоднорідного матеріалу, як деревина, як і між шарами будь-якого іншого матеріалу виникають дотичні напруги, спрямовані тепер по осі х , тобто. по тій же осі, що і нормальні стискаючі та дотичні напруги, що виникають в результаті дії згинального моменту.

Відбувається це від того, що кожен аналізований шар відчуває різні за значенням нормальні навантаження і в результаті того ж перерозподілу напруг і виникають дотичні напруги. Ці дотичні напруги намагаються розколоти балку на окремі шари, кожен з яких буде працювати як окрема балка.

Різниця ж несучої здатності між окремо взятими шарами та цільною балкою очевидна. Наприклад, якщо взяти пачку паперу хоч у 500 аркушів, то зігнути таку пачку - пара дрібниць, а якщо склеїти всі аркуші, тобто. шари балки між собою, ми отримаємо цільну балку і ось її вже зігнути буде набагато важче. Але між склеєними листами і виникатимуть ті самі, умовно кажучи, нормальні дотичні напруження. Втім, значення нормальних дотичних напруг визначається таким же чином і в розрахунках бере участь та сама поперечна сила, що визначається по епюрі "Q". Ось тільки розглядається не відсічена, а частина, що сколюється, перерізу, відповідно статичний момент може позначатися - S z ск. У цьому випадку отримане значення дотичних напруг порівнюється зі значенням розрахункового опору деревини сколу вздовж волокон. R cк.

Щоправда, значення R с90і R cкдля деревини мають однакове значення, але проте дотичні напруги від дії поперечних сил і від деформацій в результаті прогину прийнято розрізняти (оскільки розглядаються два перрпендикулярні один одному головні майданчики напруг), та й напрям дії дотичних напруг важливо при визначенні загальної напруги в досліджуваній точку тіла.

Втім, все це не більше ніж загальні поняття про дотичні напруги. У реальних матеріалах процес перерозподілу напруг набагато складніший, тому що навіть метал віднести до ізотропних матеріалів можна досить умовно. Втім, ці питання розглядає окрема наукова дисципліна - теорія пружності. При розрахунку будівельних конструкцій, що є стрижні - балки або пластини - плити розміром на приміщення, цілком можна користуватися формулою (270.2), виведеною на основі загальних положень лінійної теорії пружності. При розрахунку потужних тіл слід використовувати способи нелінійної теорії пружності.

напругоюназивається інтенсивність дії внутрішніх сил у точці тіла, тобто напруга - це внутрішнє зусилля, що припадає на одиницю площі. За своєю природою напруга - це , що виникає на внутрішніх поверхнях дотику частин тіла. Напруга, як і інтенсивність зовнішнього поверхневого навантаження, виявляється у одиницях сили, віднесених до одиниці площі:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 і т. д.).

Виділимо невеликий майданчик ∆A. Внутрішнє зусилля, яке діє на неї, позначимо ∆\vec(R). Повна середня напруга на цьому майданчику \vec(р) = ∆\vec(R)/∆A. Знайдемо межу цього відношення за ∆A \to 0 . Це і буде повним напруга на даному майданчику (точці) тіла.

\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \to 0) (\Delta\vec(R)\over \Delta A)

Повна напруга \vec p, як і рівнодіюча внутрішніх сил, прикладених на елементарному майданчику, є векторною величиною і може бути розкладено на дві складові: перпендикулярне до майданчика, що розглядається – нормальна напруга σ nі дотичне до майданчика - дотичне напруження \tau_n. Тут n- Нормаль до виділеного майданчика.

Відносна напруга, у свою чергу, може бути розкладена на дві складові, паралельні координатним осям. x, y, Пов'язаним з поперечним перетином - \tau_(nx), \tau_(ny). У назві дотичної напруги перший індекс вказує нормаль до майданчика, другий індекс - напрямок дотичної напруги.

$$\vec(p) = \left[\matrix(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \right]$$

Зазначимо, що надалі матимемо справу головним чином не з повною напругою \vec p , а з його складовими σ_x, tau _(xy), tau _(xz) . У загальному випадку на майданчику можуть виникати два види напруги: нормальне σ і дотичне τ .

Тензор напруг

Компоненти напруги за трьома перпендикулярними гранями елемента утворюють систему напруг, що описується спеціальною матрицею – тензором напруг

$$ T _\sigma = \left[\matrix(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\right]$$

Тут перший стовпець представляє компоненти напруги на майданчиках,
нормальних до осі x, другий та третій – до осі y та z відповідно.

При повороті осей координат, що збігаються з нормалями до меж виділеного
елемента, компоненти напруги змінюються. Обертаючи виділений елемент навколо осей координат, можна знайти таке положення елемента, при якому всі дотичні напруги на гранях елемента дорівнюють нулю.

Майданчик, на якому дотичні напруги дорівнюють нулю, називається головним майданчиком .

Нормальна напруга на головному майданчику називається головною напругою

Нормаль до головного майданчика називається головною віссю напруг .

У кожній точці можна провести три взаємно-перпендикулярні головні майданчики.

При повороті осей координат змінюються компоненти напруги, але не змінюється напружено-деформований стан тіла (ПДВ).

Внутрішні зусилля є результатом приведення до центру поперечного перерізу внутрішніх сил, прикладених до елементарних майданчиків. Напруги – міра, що характеризує розподіл внутрішніх сил із перетином.

Припустимо, що нам відома напруга у кожному елементарному майданчику. Тоді можна записати:

Поздовжнє зусилля на майданчику dA: dN = σ z dA
Поперечна сила вздовж осі х: dQ x = \tau (zx) dA
Поперечна сила вздовж осі y: dQ y = \tau (zy) dA
Елементарні моменти навколо осей x,y,z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(array)$$

Виконавши інтегрування за площею поперечного перерізу отримаємо:

Тобто, кожне внутрішньо зусилля є сумарним результатом дії напруги по всьому поперечному перерізу тіла.